GEOMETRIA FRATTALE

Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia aspetto anche se visto con una lente d’ingrandimento.
Questa caratteristica è spesso chiamata auto-similarità (self-similarity). Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot, e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.
I frattali compaiono spesso nello studio dei sistemi dinamici e nella teoria del caos, e sono spesso descritti in modo ricorsivo da equazioni molto semplici, scritte con l’ausilio dei numeri complessi.
La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero (soprattutto nell’abete) ogni ramo è approssimativamente simile all’intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all’originale, gli assomigliano comunque molto.
Secondo Mandelbrot, le relazioni fra frattali e natura sono più profonde di quanto si creda.

FRATTALI ALEATORI

I frattali finora esaminati possono essere considerati deterministici. Benché i processi aleatori, come per esempio il lancio di un dado, possano aiutarci a produrre immagini frattali, essi non hanno alcun effetto sulla forma frattale finale.
La situazione è ben diversa per un’altra classe di frattali, i cosiddetti frattali aleatori. Per generare un frattale di questo tipo si può cominciare con un triangolo giacente su un piano arbitrario.
I punti medi di ciascun lato del triangolo sono collegati tra loro e il triangolo è così diviso in quattro triangoli più piccoli. Ciascun punto medio è poi alzato o abbassato di una quantità scelta a caso. Lo stesso procedimento è applicato a ciascuno dei triangoli più piccoli e il processo è ripetuto all’infinito.
All’aumentare del numero delle iterazioni, comincia a formarsi una superficie sempre più ricca di particolari. In questo «metodo dello spostamento dei punti medi», l’entità aleatoria dello spostamento dei punti medi è retta da una legge di distribuzione che può essere modificata fino a ottenere una buona approssimazione della superficie di cui si vuol costruire il modello.
Per un modello di una superficie relativamente liscia, le trasformazioni usate dovrebbero prevedere una regola per cui gli spostamenti dei punti medi diventino piccolissimi già dopo poche iterazioni. Una regola del genere aggiunge solo piccole prominenze sullo sviluppo complessivo.

Per rappresentare invece una superficie accidentata, come ad esempio la topografia di una catena montuosa, è meglio far diminuire di poco l’entità degli spostamenti a ogni iterazione.
Questo metodo per costruire superfici ha molte applicazioni.
È stato impiegato per ottenere modelli dell’erosione del suolo e per analizzare le registrazioni sismiche al fine di capire i cambiamenti nelle zone di faglia.
Questo concetto è stato usato da Richard E. Voss, collega di Mandelbrot al Thomas J. Watson Research Center, per generare immagini molto realistiche di pianeti, satelliti, nubi e montagne.

GRAFICA 3D E FRATTALI

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